DAS TOTALE DIFFERENTIAL

Für eine Funktion drückt das totale Differential die Änderung von bei (infinitesimalen) Änderungen , der Argumente aus:

und sind dabei natürlich wieder Funktionen von x und y. Mit und kann man also schreiben:

Die Funktionen g,h sind hierbei nicht unabhängig, sondern wegen über die Bedingung

verknüpft.

Wenn man nun andererseits eine Beziehung der Form

vorgegeben hat, so gibt es nicht automatisch eine Funktion , für die das totale Differential darstellt. Dies ist nur dann richtig, wenn g,h die obige Bedingung bezüglich ihrer partiellen Ableitungen erfüllen (genauer muß das auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet der Fall sein). Und nur in diesem Fall gilt dann, daß

nicht vom Weg C abhängt, entlang dessen das Integral im (x,y)-Raum erstreckt wird:

(1) und (2) sind dabei Anfangs- und Endpunkt des Weges (und nur auf die Lage dieser Punkte kommt es hier noch an, weil das Integral nicht vom Weg abhängt).

Umgekehrt kann man von der Wegunabhängigkeit des Integrals darauf schließen, daß es eine Funktion gibt, deren Differential durch gegeben ist. Denn dann ist

eine wohldefinierte Funktion, von der man sich überzeugen kann, daß gilt.

Für eine Funktion von mehreren Variablen, ist definiert, und umgekehrt gibt es zu eine Funktion mit genau dann, wenn

für alle i,j gilt.

In der Mathematik entspricht einer 1-Form: "Man steckt einen Vektor, nämlich das Wegelement einer Kurve, hinein und es kommt eine Zahl heraus. Der Zusammenhang ist linear, hängt aber vom Ort ab."

Die Existenz einer Funktion , für die das totale Differential darstellt, ist äquivalent der Existenz einer Stammfunktion ("-form") A zur 1-Form . Auf einfach zusammenhängenden Gebieten ("ohne Löcher") existiert eine solche Stammfunktion genau dann, wenn gilt, wenn also die 2-Form identisch verschwindet.

Wenn der Zustand eines thermodynamisches Systems vollständig durch Angabe von p,V beschrieben wird, so stellt das totale Differential der Zustandsgröße E(p,V) dar. Dagegen ist die geleistete Arbeit nicht das totale Differential einer "Zustandsgröße Arbeit". Denn wenn man in der Form

schreibt, so erkennt man, daß g,h nicht die Bedingung

erfüllen. Mit anderen Worten: Die bei einem Prozeß, der das System vom Zustand 1 in den Zustand 2 überführt, geleistete Arbeit ist vom Weg abhängig.

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