STATISTISCHES ENSEMBLE (QUANTENMECHANISCH)

Man betrachtet mehrere gleichartige Systeme (d.h.: gleicher Hamiltonoperator), die jedoch in unterschiedlichen quantenmechanischen Zuständen sein können. Alle Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte etc. definiert man dann als Mittelwerte über diese Systeme. Im folgenden sollen die N Systeme zum betrachteten Zeitpunkt in den Zuständen sein. Diese Zustände sollen nach irgendeiner Basis entwickelt werden:

Es gilt dann für den Erwartungswert eines Operators :

Bei einem System:

Im statistischen Ensemble:

Man sieht: Dort, wo bei der Berechnung des Erwartungswertes eines Systems das Produkt auftaucht, steht beim Mittelwert über mehrere Systeme die Größe

(Man beachte die unterschiedliche Reihenfolge von i,j auf beiden Seiten)

wird als Dichtematrix des Systems bezeichnet. Wenn der Zustand eines Systems in dieser Weise als Mittelung über viele quantenmechanische Zustände beschrieben wird, spricht man von einem sogenannten "gemischten" Zustand. Den "Normalfall" eines Zustandes, der durch Angabe einer Wellenfunktion festgelegt wird, bezeichnet man dagegen als "reinen" Zustand.

Man kann mit Hilfe der Dichtematrix den Erwartungswert von folgendermaßen schreiben:

("Sp" steht für die Spur der Matrix, also die Summe der Diagonalelemente)

Die Wahrscheinlichkeit, den Zustand i zu finden, wenn man an einem zufällig gewählten System des Ensembles eine "Messung" durchführt, beträgt

Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ergibt 1, wie es sein muß:

Demnach:

Die Dichtematrix ist hermitesch:

Das bedeutet, daß man sie in einer Orthogonalbasis auf Diagonalgestalt bringen kann. Da die Diagonalelemente Wahrscheinlichkeiten darstellen (), müssen sie nichtnegativ sein. Die Dichtematrix hat also nichtnegative Eigenwerte und ist deshalb positiv semidefinit.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer "Messung" den Eigenwert des Operators zu "finden", ist in dessen Eigenfunktionsbasis gleich . Formal kann man diese Wahrscheinlichkeit auch in basisunabhängiger Form schreiben:

Zur genauen Definition des Operators siehe:

Dichtematrix bei reinen Zuständen

[Weiter] Zeitentwicklung der Dichtematrix
[Zurück] Gemischte Zustände