MOLEKULARFELDTHEORIE DES FERROMAGNETISMUS

Das Heisenberg-Modell beschreibt ein Gitter von Spins, die untereinander über die Austauschwechselwirkung gekoppelt sind. Außerdem wirkt auf die Spins ein externes Magnetfeld. Der Hamiltonoperator dieses Modells ist gegeben durch

(Beachte, daß die Vorzeichen hier so gewählt sind, daß die Richtung des Spins und des magnetischen Momentes übereinstimmen, so daß also große Werte der -Komponente bevorzugt werden, wenn man ein B-Feld in positiver z-Richtung anlegt.)

Die Indices laufen über alle Gitterplätze. Der erste Term im Hamiltonoperator stellt die potentielle Energie der magnetischen Momente im B-Feld dar. Die Austauschwechselwirkung im zweiten Term führt dazu, daß die parallele Ausrichtung zweier Spins energetisch bevorzugt ist, wenn die entsprechende Austauschkonstante größer als Null ist. Bei gibt es entsprechend eine Tendenz zur antiparallelen Ausrichtung.

Für hat man den bereits behandelten Fall freier Spins im Magnetfeld vorliegen. Das Ergebnis für den Erwartungswert bei einem Magnetfeld, daß in z-Richtung orientiert ist, lautet:

(S:Spin, : Brillouinfunktion zum Spin S)

Dieses Ergebnis gilt natürlich für den Wert von an jedem Gitterplatz.

Bei vorhandener Wechselwirkung zwischen den Spins () wird das Problem sehr viel schwieriger. Die stationären Zustände sind nicht etwa durch bestimmte Konfigurationen von up/down-Spins auf dem Gitter gegeben, sondern stellen komplizierte Überlagerungen solcher Zustände dar.

In der Molekularfeldnäherung ersetzt man die Wechselwirkung durch ein "effektives Magnetfeld", das die Austauschwechselwirkung pauschal durch einen von abhängigen Term berücksichtigt. Dann kann man das Ergebnis für den Fall freier Spins anwenden, indem man dieses effektive Feld anstelle des dort auftauchenden externen B-Feldes einsetzt:

Wenn man nun die Näherung in dem Klammerausdruck einführt, dann wird dieser zu einer Konstante, dem sogenannten "effektiven Magnetfeld". Als "internen Anteil" bezeichnet man dabei den von der Austauschwechselwirkung herrührenden Term. (Jedoch hat die Austauschkopplung nichts mit der gegenseitigen Ausrichtung von magnetischen Dipolen in ihrem Magnetfeld zu tun!)

Die Größe bezeichnet dabei die Summe . Aus dem Ergebnis für freie Spins folgert man dann, daß bei Anwesenheit eines B-Feldes in z-Richtung der Erwartungswert von gegeben ist durch

()

Dies stellt eine implizite Gleichung für dar. Man kann sich durch eine grafische Konstruktion einen Überblick über das Verhalten der Lösung bei verschiedenen Temperaturen verschaffen. Das ist hier dargestellt für ein verschwindend geringes B-Feld in z-Richtung:

Die steileren Kurven gehören zu niedrigeren Temperaturen. Die Diagonale und die Kurve zur kritischen Temperatur sind rot eingezeichnet.

Die rechte Seite der Gleichung ist hier als Funktion von aufgetragen, für verschiedene Werte der Temperatur. Die Gleichung ist erfüllt für denjenigen Wert von , bei dem die Kurve die Diagonale schneidet (rechte Seite=linke Seite). Für hohe Temperaturen ist die Steigung der Kurve so flach, daß der einzige Schnittpunkt bei liegt. Für mit einer "kritischen Temperatur" gibt es einen weiteren Schnittpunkt für einen endlichen Wert von . Das bedeutet, daß eine gegenseitige Ausrichtung der magnetischen Momente stattfindet, auch ohne äußeres Magnetfeld. Die kritische Temperatur wird gerade dann erreicht, wenn die Steigung der Kurve im Ursprung 1 beträgt: Dann fällt die Tangente der Kurve im Ursprung mit der Diagonale zusammen (vgl. Diagramm).

Verhalten des Mittelwerts der Spinkomponente in Abhängigkeit von Temperatur und Magnetfeld. Für die Temperatur sind dimensionslose Einheiten verwendet worden, bezogen auf . Unterhalb findet man spontane Magnetisierung, die auch bei verschwindendem B-Feld vorhanden ist.

Die Richtung, in die die Magnetisierung weist, ist nur bei endlichem (beliebig kleinem) Magnetfeld vorgegeben. Dann, wenn tatsächlich gilt, sind aus Symmetriegründen zunächst einmal alle Richtungen gleich möglich. Tatsächlich ergibt sich bei Rechnung mit der kanonischen Verteilung (ohne diese Molekularfeldnäherung) aus diesem Grunde immer für , egal wie niedrig die Temperatur ist. Dennoch zeigt sich in der Natur das Verhalten, was qualitativ schon durch die Molekularfeldnäherung beschrieben wird: Es gibt magnetische Materialien mit spontaner Magnetisierung unterhalb einer kritischen Temperatur. Bezüglich des Verhaltens eines realen Systems, das bei Unterschreiten von eine bestimmte Magnetisierungsrichtung "auswählt", spricht man von "spontaner Symmetriebrechung".

Um die kritische Temperatur in der Molekularfeldnäherung zu erhalten, muß man die Steigung der oben definierten Kurve im Ursprung berechnen. Aus der Entwicklung der Brillouinfunktion erhält man dafür:

Bei der kritischen Temperatur ist diese Steigung gleich 1, also gilt

Die kritische Temperatur heißt in diesem Fall (bei einem ferromagnetischen System) auch "Curie-Temperatur".

VERHALTEN DER MAGNETISIERUNG OBERHALB DER KRITISCHEN TEMPERATUR

Mit der Entwicklung der Brillouinfunktion (bzw. dazu äquivalent: Verwendung des Curie-Gesetzes) ergibt sich für schwache Magnetfelder:

Das kann man nach auflösen:

Die Magnetisierung beträgt demnach

Hierbei ist C die bereits bei der Behandlung der freien Spins eingeführte Curie-Konstante (). Diese Formel für die Magnetisierung/ magnetische Suszeptibilität wird als "Curie-Weiß-Gesetz" bezeichnet.

In einer allgemeineren Schreibweise für das Verhalten der Suszeptibiltät in der Nähe der kritischen Temperatur führt man einen sogenannten "kritischen Exponenten" der Suszeptibilität, , ein:

Für die Molekularfeldnäherung hat man offenbar immer (unabhängig vom Gittertyp und dem genauen Aussehen der Kopplungskonstanten!). Experimente und bessere Rechungen ergeben davon (nach oben) abweichende Werte.

SPONTANE MAGNETISIERUNG UNTERHALB DER KRITISCHEN TEMPERATUR

Um die Temperaturabhängigkeit der spontanen Magnetisierung unterhalb der kritischen Temperatur zu bestimmen, verwendet man die Entwicklung der Brillouinfunktion bis zur dritten Ordnung:

Division durch ergibt eine Gleichung für . Zur Vereinfachung benutzt man dabei die oben schon berechnete kritische Temperatur

Das führt auf

Für (also knapp unterhalb der kritischen Temperatur - nur dort ist diese Entwicklung gültig) ist der zweite Term in erster Ordnung konstant und man erhält:

(b bezeichnet den oben auftauchenden konstanten Faktor)

Auch hier führt man einen kritischen Exponenten (für die Magnetisierung) ein:

In der Molekularfeldnäherung gilt hier . Die tatsächlichen Werte liegen darunter.

Für die Energie findet man in der Molekularfeldnäherung:

Daraus erhält man die Wärmekapazität bei konstantem Feld :

Oberhalb der kritischen Temperatur ist das gleich Null, weil dort keine spontane Magnetisierung vorliegt (). Unterhalb kann man für die Näherung

benutzen (siehe oben). Das bedeutet (in dieser Näherung) eine konstante Wärmekapazität für :

Allgemeiner kann man auch hierfür ein Potenzgesetz mit einem kritischen Exponenten bzw. formulieren:

Der Exponent ist dabei entweder oder , je nachdem ob oder . In der Molekularfeldnäherung ist .

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