DAS DEBYE-MODELL

Bei niedrigen Temperaturen sind die Schwingungsmoden mit höheren Frequenzen praktisch nicht angeregt. Dann kommt es nur auf die Zustandsdichte für niedrige Frequenzen an. Diese verläuft immer wie , weil für niedrige Frequenzen (kleine k, akustische Moden) eine lineare Dispersionsrelation gilt:

Da im k-Raum ein Zustand auf ein Volumen kommt, ergibt sich für die Zahl der Zustände mit -Werten kleiner als k:

Bei einer linearen Dispersionsrelation (mit der Schallgeschwindigkeit s) erhält man so direkt die Zahl der Zustände mit einer Frequenz kleiner als :

Differenzieren (und hier Division durch das Volumen) ergibt die Zustandsdichte für einen Zweig der Dispersionsrelation:

Die Zustandsdichte für alle drei akustischen Zweige zusammen (zwei davon transversal, einer longitudinal) lautet deshalb:

Mit der Definition einer Art ''gemittelten Schallgeschwindigkeit''

erhält man:

Zwar wird diese Zustandsdichte nur für niedrige Frequenzen benötigt. Da sie aber normiert sein soll, darf sie nur bis zu einer gewissen oberen "Abschneidefrequenz" gültig sein. Diese Frequenz wird als Debye-Frequenz bezeichnet. Sie ergibt sich aus der Normierungsbedingung

Das ergibt

Deshalb folgt für die Debye-Frequenz in Abhängigkeit von der Dichte und der Schallgeschwindigkeit:

Für die Zustandsdichte des Debye-Modells gilt dann:

Mit Hilfe dieser Zustandsdichte kann man nun die thermodynamischen Größen eines Kristalls für niedrige Temperaturen ausrechnen (bzgl. des Gitteranteils). Insbesondere ergibt sich für die Wärmekapazität:

Man muß also nach einer Substitution ein Integral der Form

auswerten. Das führt auf:

Dies ist das "Debyesche Gesetz" für die Phononen-Wärmekapazität bei niedrigen Temperaturen. Wesentlich hieran ist, daß mit geht.

Zur Debye-Frequenz kann man die sogenannte Debye-Temperatur definieren:

Das Debye-Modell ist dann eine zuverlässige Näherung, wenn die Temperatur deutlich unterhalb liegt.

Beim älteren Einstein-Modell wird angenommen, daß es nur eine Oszillatorfrequenz gibt, entsprechend einem Delta-Peak in der Zustandsdichte. Das kann als Näherung für die optischen Moden verwendet werden, deren Zustandsdichte auf einen kleinen Bereich (bei höheren Frequenzen) konzentriert ist.

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