und 
.
EIN BEISPIEL ZUR GIBBSSCHEN VERTEILUNG: ZWEINIVEAUSYSTEM
Gegeben ist ein quantenmechanisches System mit nur zwei Energieniveaus: und .
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Die Besetzung der beiden Niveaus bei wachsender Temperatur nach der Gibbsschen Verteilung. (Es sind dimensionslose Einheiten verwendet: T=1 entspricht  ) |
Aus der Zustandssumme
berechnet man die freie Energie:
Die Entropie erhält man aus der Ableitung der freien Energie nach der Temperatur:
Für den Grenzfall 
(
) ergibt sich 
. Bei hohen Temperaturen (
) geht das Argument im ln gegen 2 (dagegen verschwindet der zweite Term, weil dort T im Nenner steht):
Dieses Ergebnis könnte man auch direkt aus der statistischen Definition von S ablesen:
Denn bei hohen Temperaturen sind beide Niveaus gleich besetzt: 
.
Dies ist ein allgemeines Ergebnis: Bei einem System mit einer endlichen Anzahl N von Energieniveaus geht die Entropie im Grenzfall hoher Temperaturen gegen 
.
Die Wärmekapazität kann man z.B. über die Ableitung der Entropie nach der Temperatur erhalten:
Für geht C gegen 0, genauso wie für hohe Temperaturen. Dazwischen hat die Wärmekapazität ein Maximum (für 
). Dieses Verhalten ist ebenfalls charakteristisch für ein System mit einer endlichen Zahl von Energieniveaus.
Die Energie kann man entweder aus 
(bei Kenntnis von F,S), oder aus der Mittelung über die Energieniveaus erhalten:
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Wärmekapazität, Entropie und Energie beim Zweiniveausystem. Die Entropie geht für hohe Temperaturen gegen
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[Weiter] Weitere Beispiele zur Gibbsschen Verteilung
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, die Energie gegen 
. Es ist hier angenommen, daß das untere Energieniveau bei Null liegt. Sonst verschiebt sich die Energie entsprechend.